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Trigonometrie: Kosinussatz

Der Kosinussatz lautet bekanntlich:

(1)   \begin{equation*} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{equation*}

Dabei sind a,b und c die Seiten eines allgemeinen Dreiecks und \gamma der der Seite c gegenüberliegende Winkel:

Dreieck mit Höhe h und Winkel γ

Die Höhe h steht senkrecht auf der Seite b und teilt diese in zwei Abschnitte d und x, b=d+x. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus gleich dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Betrachtet man hier das von den Seiten d, h und a gebildete rechtwinklige Dreieck, so gilt \cos \gamma = \frac{d}{a} oder d = a \cos \gamma.

Auf die durch a,d und h bzw. c,x und h gebildeten rechwinkligen Dreicke lässt sich jeweils der Satz des Pythagoras anwenden:

(2)   \begin{equation*} c^2 = x^2 + h^2 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} a^2 = x^2 + h^2 \end{equation*}

Auflösen der beiden Gleichungen nach h^2 und gleichsetzen, ergibt:

(4)   \begin{equation*} a^2-d^2 = c^2 - x^2 \end{equation*}

Da ja b=d+x ist, kann x durch b-d ersetzt werden:

(5)   \begin{equation*} a^2-d^2 = c^2 - (b-d)^2 \end{equation*}

Anwenden der binomischen Formel ergibt:

(6)   \begin{equation*} a^2-d^2 = c^2 - (b^2 - 2bd + d^2) \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} a^2-d^2 = c^2 - b^2 + 2bd - d^2 \end{equation*}

Addieren von d^2 auf beiden Seiten und ersetzen von d durch a \cos\gamma, führt zu:

(8)   \begin{equation*} a^2 = c^2 - b^2 + 2b (a \cos \gamma) \end{equation*}

Auflösen nach c^2 führt dann zu obigem Kosinussatz:

(9)   \begin{equation*} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{equation*}