Trigonometrie: Sinus und Kosinus

Bogenmaß	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
Gradmaß	0	90	180	270	360
Sinus	0	1	0	-1	0
Kosinus	1	0	-1	0	1

Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel (0 und Vielfache von 90 Grad)

Der Sinus kann als das Verhältnis (der Längen von) Gegenkathete zu Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck betrachtet werden. Am einfachsten macht man sich die Zusammenhänge an einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis (Kreis mit Radius gleich 1) klar. Hier ist die Hypotenuse gleich 1. Und damit reduziert sich die Bestimmung des Sinus auf das Messen oder die Berechnung (der Länge) der Gegenkathete.

Der Kosinus kann als das Verhältnis (der Längen von) Ankathete zu Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck betrachtet werden. Im Einheitskreis reduziert sich die Bestimmung des Kosinus auf das Messen oder die Berechnung (der Länge) der Ankathete.

Bei den obigen Winkeln, 0 und Vielfache von 90 Grad, handelt es sich im Grunde genommen nicht um echte Dreiecke, sondern um degenerierte Dreiecke, deren Gegenkathete oder Ankathete die Länge 0 hat.

Betrachtet man Winkel von 45 Grad bzw. Vielfache davon, lässt sich feststellen, dass Ankathete und Gegenkathete gleich lang sind. Da die Hypotenuse die Länge 1 hat, folgt nach dem Satz des Pythagoras, dass die Länge von Ankathete und Gegenkathete gleich $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ist:

Bogenmaß	0	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{4}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\pi$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{6\pi}{4}$	$\frac{7\pi}{4}$	$2\pi$
Gradmaß	0	45	90	135	180	225	270	315	360
Sinus	0	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	1	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	0	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	-1	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	0
Kosinus	1	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	0	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	-1	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	0	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	1

Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel (0 und Vielfache von 45 Grad)

Für einen Winkel von 30 Grad gilt, dass das resultierende Dreieck neben dem rechten Winkel noch einen Winkel von 60 Grad aufweist (die Winkelsumme im Dreieck ist gleich 180 Grad). Diese Dreieck ist die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Seiten jeweils die Länge 1 haben. Das heißt, die Gegenkathete hat die Länge $1/2$ und die Ankathete, wieder nach dem Satz des Pythagoras hergeleitet, die Länge $\frac{\sqrt{3}}{2}$ :

Bogenmaß	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{2\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{6}$	$\frac{4\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{8\pi}{6}$	$\frac{9\pi}{6}$	$\frac{10\pi}{6}$	$\frac{11\pi}{6}$	$2\pi$
Gradmaß	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
Sinus	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	0
Kosinus	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1